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悬赏百万的问题

作者:佚名    数学博览来源:本站原创    点击数:    更新时间:2010-5-18 >>> 马上投稿
 
 
  悬赏百万的问题

原题: Million-Buck Problems.
译自: The Math. Intelligencer, Vol.~24(2002), No.~3, p.17--20.

Scott W.~Williams

因Apostolos Doxiadis的新小说《Uncle Petros and Goldbach Conjecture》
(2000年)的发表,英国出版商Faber和美国Bloomsbury出版社的出版商Faber拿出
100万美元来悬赏那些能解决Goldbach猜想的人.(2000年) 5月10日,Clay数学促进会正式宣布了一项700万美元的千禧年奖,它对7个著名问题中每个问题的解答奖以100万美元.难以置信,这种公开的惊人炒作居然在数学中占据了优先地位.本文是我个人对几个著名的未解决问题的历史评论,所涉及到的这些问题对一个具有大学数学程度或更低一些的人都能理解.

在我还是一个大学生的时候,Burnside问题,奇单群猜想(1963年)和连续统假设刚
刚得到解决,而Riemann假设,四色作图问题,Fermat大定理,Bieberbach猜想,
Poincare猜想及Goldbach猜想都是些有名的未解决问题.10年之后,四色问题和
Alexandrov猜想得到了解决;20年后,Bieberbach猜想得到了证明而30年后
Fermat大定理也有了结果.只剩下前面提到的几个问题仍未解决,同时其他一些
问题又浮出了水面.解决这些问题中任何一个都会赢得``声誉',并有时还会带来
一项重要的数学奖,象是145{,}000美元的Steele奖,50{,}000美元的Wolf奖,还有被非
正式称作``诺贝尔数学奖'的Fields奖,后者授予一块特殊的金质奖章(并附以
15{,}000美元),或者还应提到被我称为真正数学家的``诺贝尔奖'的瑞典皇家
科学院的500{,}000美元的Crafoord奖.

解决其中一个问题便能从Clay数学促进会(http://www.claymath.org)得到百万
美元的那7个问题是:下面还要提到的Poincare猜想以及Riemann假设,P与NP问
题,Hodge猜想,Yang -- Mills存在性与质量缺失,Navier -- Stokes存在性
与光滑性,以及Birch及Swinnerton -- Dyer猜想.与这些问题一起的还有一组
文章,它们由Stephen Cook, Pierre Deligne, Enrico Bombieri, Charles
Fefferman和Andrew Wiles所写.$^{1)}$\footnotetext{\songti\ssmall\zihao{-5}
{1)}关于Clay数学促进会设奖的7大千禧年问题的中译文,请参见本刊2000年
第1, 2期.---$\!$---校注}

把金钱和数学问题连起来并非新鲜事.1908年,德国工业家Paul Wolfskehl便为Fermat大定理的证明设立了一项100,000马克(那时大约值100万美元)的奖项(见Notices A.~M.~S. 44 no.10(1997), 1294 -- 1302).可惜,通货膨胀令奖金贬值,到1997年Wiles拿到的只有50{,}000美元了.但是瑞典皇家科学院把Schock奖授予了Wiles,他还从Paul Sabatier大学得到了Fermat奖.DeBranges因证明了一个较Bieberbach猜想要强很多的猜想获得了Ostrovski奖.

被称作``解问题王子,提问题大王'的已逝的Paul Erd{\H o}s获得了50{,}000美元的Wolf数学奖.他还为那些能解决他所提出的一些问题的数学家设立了奖项,从而广为人知.这些奖金从10{,}000美元到25美元不等.奖10{,}000美元的是数论中被他称之为``没有希望'会得到解决的问题,而奖25美元的则是些他认为并不特别困难但却仍具技巧性的问题;这些问题是在其讲义中提出来的.由于Erd{\H o}s在1996年逝世,其他一些数学家仍然继续了这项运作.现在,一个公司提供了100万美元而另一个促进会甚至提供了更多的赏金.

Fields奖不给予那些年龄超过40岁的人.因与解决著名问题有关而获得Fields奖的人士有:

Selberg(1950),因其在Riemann假设方面的工作;Smale(1966),因其在$n>4$的广义Poincare猜想方面的工作;Thompson(1970),因其在解决奇单群工作中的作用;Bombieri(1974),因其在局部Bieberbach猜想中的工作;Faltings(1986),因其解决了Mordell猜想;Freedman(1986),因其在$n=4$的广义Poincare猜想上的工作;Borcherds(1998)因其解决了空想魔群猜想(Monstrous Moonshine Conjecture).

或许通过解决一个问题而获得的``声誉',会带给一些人适当的财富.下面这些未解决的问题全都具有简单的表述,它们是:Goldbach猜想,Kolakoski序列,$3x+1$问题,Schanuel猜想,框积(Box-Product)问题,奇完全数问题,Riemann假设,孪生素数猜想,林中迷路(Lost-in-a-Forest)问题,回文(Palindrome)问题以及Poincare猜想.通常认为其中一些问题(Riemann假设和Poincare猜想)对数学领域的价值比其他的要大.然而曾经有过一些次要的问题,它们不是通过简单地将现成的技巧作了比其他人更进一步的推进而解决的,而是引进了高度的原创思想,这些思想导致了许多新的发展.因此,我称它们都是百万赏金的问题,因为我相信它们的解决(包括其涉及的技巧)对数学的发展而言至少值100万美元.

1. Goldbach猜想

1742年6月7日,ChristianGoldbach写了一封信给L.~Euler,提出了每个偶整数是两个素数的和这一命题,虽然已知它对到4 $\cdot$ 10$^{13}$前的所有数都成立,但仍未得到证明.最接近解决Goldbach猜想的是陈景润的结果,即每个``充分大'的偶数具有$p+qr$的形式,其中
$p, q, r$均为素数.英国的Faber和美国Bloomsbury出版社的Faber提出了一些严格要求,包括要求正式发表对Goldbach猜想的证明.参与竞争的人还需要在2002年的3月前递交他们的申请,并于2004年的3月前发表其文章.如果有人获胜,则将在2004年底得到奖金.

仍未解决的一个Goldbach猜想的推论是所谓的{\kaishu 奇数Goldbach猜想},即``大于5的每个奇整数是3个素数之和'.已经证明对于大于10$^{7{,}000{,}000}$的奇整数此猜想成立,如果有了合适的计算能力,来计算小于10$^{7{,}000{,}000}$的所有情形,整个结论也可能出问题.

2. Beal猜想

这是Fermat大定理的一个推广.如果$A^x+B^y=C^z$,其中$A, B, C, x,y$和$z$为正整数且$x, y$和$z$都大于2,则$A, B, C$必有公因子.AndrewBeal是位银行家,也是位业余数学家.虽然他已对此猜想的解决提供了75,000美元,但在1997年才第一次对外宣布.评奖委员会由Charles Fefferman,Ron Graham和R.~Daniel Mauldin组成,基金由美国数学会托管.

3. Schanuel的两个猜想

(不要与Schanuel引理或Ax--Schanuel定理相混淆)

在20世纪60年代初,Schanuel提出了与复指数函数有关的代数性质的两个猜想.Schanuel
对这两个猜想分别提供了2{,}000美元和1{,}000美元的奖金,以奖励在他的有生之年中发
表的对这两个猜想的解答.{\kaishu Schanuel猜想}是关于$(\C, e^z)$的{\kaishu 无关性质}的:如果$z_1, z_2, \ldots, z_n$为在有理数上为线性无关的$\C$中复数,则$z_1, z_2, \ldots, z_n,e^{z_1}, e^{z_2}, \ldots,e^{z_n}$中某$n$个为代数无关.{\kaishu 逆Schanuel猜想}说,没有更多的情形会出现.明确地说,如果$F$是个特征零的可数域,$E: F \to F$是由加法群到乘法群的同态,并且它的核为循环子群.则此猜想是说,如果$(F, E)$具有无关性质,则有一个域间同态$h: F \to \C$,使得$h(E(x))=e^{h(x)}$.例如这两个猜想中任一个都蕴涵了$e$和$\pi$的代数无关性.[在第一个猜想中取$z_1=1, z_2=\pi i$;在第二个中,人们必需构造$(F, E)$,它有一个元$p$使得$E(ip)=-1$,从而$E(1)$和$p$为代数无关.]目前,我们甚至还不知道$e+\pi$是否为无理数.

4. Kolakoski序列

考虑由1和2组成的序列
$$\sigma = \langle 1221121221221121122121121221121121221221121221211
21122122112 \rangle.$$
$\sigma$的一个{\kaishu
块}是一个最大的常值子序列.考虑这些块和它们的长度.例如,从左端开始,第一块$\langle 1 \rangle$具长度1.第二块$\langle 22 \rangle$具长度2.第三块$\langle 11\rangle$具长度2.照此继续下去并注意到由这些块的长度数构成的序列$\lambda=\langle 1221121221\ldots \rangle$恰是$\sigma$的前面的部分.Kolakoski序列是指由1和2构成的(唯一的)无穷序列$\sigma$,它由1开始并且它的块的长度数构成的序列$\lambda$满足$\lambda =\sigma$. Chris Kimberling(见http://cedar.evansville.edu/\~{}ck6/index.html)
允诺200美元以奖励第一个发表解决下面全部5个问题的文章的人(他说如果你解决了其中一个,那便有了机会,因为你便会明白如何解决其他几个问题).把最后的4个问题看成是一个问题可以使Kolakoski序列问题显得有些趣味:

i.对$\sigma$的第$n$项是否存在表达公式?

ii.如果一串数(例如212211)出现在$\sigma$中,它是否必定会再出现?

iii.如果一串数出现在$\sigma$中,是否其逆也必定出现?(112212出现)

iv.如果一串数出现在$\sigma$中,并将其中的1与2互换,是否新的数串也必出现?(121122出现)

v.是否1在$\sigma$出现的频率存在极限,它是否为1/2?

5. 框积问题

6. Collatz的3{\mbox{\boldmath $x$}}+1猜想

7. 奇完全数问题

8. Riemann假设

9. 孪生素数猜想

10. Poincare猜想

11. 回文问题

12. 林中迷路问题

谨将本文献给John Isbell.有关这篇文章,我曾与William Massey,
Mohan Ramachandran, Samuel Schack和Stephen Schanuel进行了私人通
信.然而所有的错误都由我负责.

胥鸣伟 译
冯绪宁 校