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破"百鸡"有新法

作者:佚名    文章来源:本站原创    点击数:    更新时间:2010-5-18 >>> 马上投稿
 
 
 

《张丘建算经》中有这样一题:公鸡每只值5文钱,母鸡每只值3文钱,小鸡每3只值1文钱。现在用100文钱买100只鸡,公鸡、母鸡、小鸡各有多少只?  

   这是中国古代算术中的一类典型问题——百鸡问题,现代数学用不定方程求解,在小学阶段,不少同学都是用拼凑的办法来解决。这里介绍一种新方法,对小学生很适用。  

1、求倍数。每只公鸡值5文钱,每只母鸡值3文钱,每只小鸡值1/3文钱。以最便宜的小鸡为标准,公鸡和母鸡的价格分别是小鸡的5÷1/3=15倍和3÷1/3=9倍。  

2、算超额。假设100文钱全部买小鸡,可买100÷1/3=300只,超出实有三种鸡总数300-100=200只。  

3、组等式。由于公鸡置换成小鸡可多出自身只数的15-1=14倍,母鸡置换成小鸡可多出自身只数的9-1=8倍。不难理解,上述假设中多出的200只即为公鸡和母鸡置换成小鸡后一共增加的只数,关系式为:公鸡只数×14+母鸡只数×8=200  

4、试结果。一般来说,不定方程的正整数解按关系式就可以观察得到。我们也可以先把等式变形,观察起来更为容易。方法是,在等式两边同时除以一个相同的数(0除外),得到等式右边为整数,左边只有一项系数是分数的形式。  

在上式两边同时除以8,得到:公鸡只数×7/4+母鸡只数=25。显然,公鸡只数必须是4的倍数。这样,从“ 4 起,依次用4的倍数去试算,可以得出三种情况:公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只;或公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只;或公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只。  

下面再举一例来验证。  

      大数学家欧拉曾提出过这样的问题:一头猪32131 2)银币,一只山羊13111 3)银币,一只绵羊211/2)银币。有人用100个银币,买了100头牲畜。问:猪、山羊、绵羊各多少?  

            猪的单价是绵羊的31 2÷1/2=7倍,山羊的单价是绵羊的11 3÷1/2=22 3倍,猪和山羊分别置换成绵羊,可多出自身只数的7-1=6倍和 22 3-1=12 3倍。如果100个银币都买绵羊,可买100÷1/2=200只,超出实有牲畜头数200-100=100头,这100头就是猪和山羊换成绵羊后多出的头数,列式:猪×6+山羊×12 3=100。显然,山羊的只数应是“ 3 的倍数,可以推算得到:猪15头,山羊6只,绵羊79只;或猪10头,山羊24只,绵羊66只;或猪5头,山羊42只,绵羊53只。  

上述解法,我们可以用代数知识来帮助分析。

    在第一题里,设公鸡、母鸡、小鸡分别有XYZ只,列出两个方程(方程组)X+Y+Z=100…… 5X+3Y+1 3Z=100……②,将方程乘以3,就是15X+9Y+Z=300,与方程相减(消去Z),得出14X+8Y=200,两边同时除以8,就是7 4X+Y=25。显然X只能是4的倍数,依次试算,就能得到与前面相同的答案来。  

这样一来,我们就会明白,所谓的“新法”,其实也并不新鲜,不过就是先用“消元法”把“三元”不定方程组演变成一个“二元”不定方程,然后有意识地将这个方程的某一个求知数的系数变成分数形式,便于观察这个未知数的值,其它未知数就不难推算了。